##可逆矩阵定义 在线性代数中，给定一个n阶方阵A，若存在一n阶方阵B，使得AB = BA = In，其中In为n阶单位矩阵，则称A是可逆的，且B是A的逆阵，记作A^(-1)。若方阵A的逆阵存在，则称A为非奇异方阵或可逆方阵。 ##等价条件 A是可逆矩阵的充分必要条件是|A|≠0(方阵A的行列式不等于0)。
给定一个n阶方阵A，则下面的叙述是等价的：

  • A ≠0（是非奇异矩阵）
  • A的行(列)向量组线性无关；
  • 齐次方程组Ax = 0 有非零解；
  • A的行列式不为零。

###可逆矩阵定理 设A为nxn矩阵，则下列命令是等价的，级对某一特定的A，它们同时为真或同时为假。

  • A是可逆矩阵
  • A等价于nxn单位矩阵
  • A有n个主元位置
  • 方程Ax=0仅有平凡解(A的各列线性无关)
  • A的各列线性无关
  • 线性变换x -> Ax是一对一的
  • 对Rn中任意b，方程Ax=b至少有一个解
  • A的各列生成Rn
  • 线性变换x -> Ax 把Rn映射到Rn上
  • 存在nxn矩阵C，使CA=I
  • 存在nxn矩阵D，使AD=I
  • AT是可逆矩阵

##行列式和矩阵的关系

  • 行列式是一个数值，矩阵是一个列表
  • 行列式可看作一个n行n列矩阵(即方阵)的行列式
  • 矩阵的行数和列数不一定相同

n阶方阵A的行列式有性质:
|A| = |A^T|
|kA| = k^n|A|
|AB| = |A||B|
若A可逆,|A^-1| = |A|^-1

###一些定理

  • 若线性方程Ax=b有解，则称Ax=b为相容方程组，也称为线性方程组Ax=b相容。若无解则不相容。
  • 零向量是平凡解。Ax=b的平凡解是x=0；